Cas (1) Soit (un) la suite définie sur N par : Uo = 5 (Un+1 = 0,2un + 3 Montrer par récurrence que la suite (un) est décroissante.

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

Initialisation

U1 = 0,2 X 5 + 3 = 4

4 < 5 donc U1 < U0

La propriété est vraie au rang 0

Hérédité

Un+1 = 0,2Un + 3

soit f(Un) = 0,2 Un +3

fonction affine avec a=0,2 >0 donc f est croissante

hypothèse de récurrence la suite (Un) est décroissante

soit Un+1 < Un

comme f est croissante

f(Un+1) < f(Un)

soit Un+2 < Un+1

Donc si Un+1 < Un alors Un+2 < Un+1

L'hérédité est vérifiée

La propriété est héréditaire et vraie au rang 0, elle est donc vraie pour tout entier naturel

La suite (Un) est donc décroissante sur N