d 1 Déterminez la distance séparant la droite r et le point A r=y=-2x-5 A(-1;3) a) Déterminez l'équation de la droite t perpendiculaire à r et passant par A. b)

Réponse :

Déterminez la distance séparant la droite r et le point A

r=y=-2x-5

A(-1;3)

a) Déterminez l'équation de la droite t perpendiculaire à r et passant par A.

t a pour équation y = m x + p

r ⊥ t   ⇔ a * m = - 1  ⇔ - 2 * m = - 1   ⇔ m = 1/2

A(- 1 ; 3) ∈ t  ⇔  3 = 1/2)*(- 1) + p  ⇔ 3 + 1/2 = p  ⇔ p = 7/2

donc l'équation de la droite t  perpendiculaire à la droite r  est :

     y = 1/2) x + 7/2

b) Déterminez les coordonnées du pied de la perdpendiculaire t sur la droite r. Ce point est l'intersection de r et t.

r :  y = - 2 x - 5

t :  y = 1/2) x + 7/2

⇔ 1/2) x + 7/2 = - 2 x - 5   ⇔ 1/2) x + 2 x = - 5 - 7/2

⇔ 5/2) x = - 17/2    ⇔ x = - 17/5

y = - 2*(- 17/5) - 5 = 34/5 - 5 =  9/5

donc les coordonnées du point H intersection de r et r  sont :

H(- 17/5 ; 9/5)    

) Calculez la distance entre la droite r et le point A.

vec(AH) = (- 17/5 + 1 ; 9/5 - 3) = (- 12/5 ; - 6/5)

⇒  AH² = (- 12/5)² + (- 6/5)² = 144/25 + 36/25 = 180/25

⇒ AH = √(180/25) = 6√5)/5

Explications étape par étape :