Bonjour , j’essaye de mon mieux pour cet exo mais il est vraiment dur , merci d’avance pour votre aide .

Réponse :

Explications étape par étape :

■ cet exercice n' est pas dur ! ☺

■ tableau-résumé de la fonction f :

              U3       U2        U1       Uo

  x -->  1,545     1,75       2,2       4

f(x) --> ≈ 1,43    1,545...   1,75     2,2

■ il est clair que la suite (Un) est décroissante

                                      et convergente vers 1 .

■ 3°) Un+1 - Un = f(Un) - Un = 3 - [ 4/(Un + 1) ] - Un

                                            = [ 3Un + 3 - 4 - Un² - Un ] / (Un + 1)

                                            = [ -Un² + 2Un - 1 ] / (Un + 1)

                                            = - (Un - 1)² / (Un + 1)

        cette expression est toujours négative,

       ce qui prouve que la suite (Un) est bien décroissante ! ☺

■ 4°) Un+1 > 1 donne 3 - [ 4 / (Un + 1) ] > 1

                                          3Un + 3 - 4 > Un + 1

                                          3Un - 1        > Un + 1

                                          2Un            > 2

                                            Un            > 1 .

■ 5°) f(x) = x donne 3 - 4/(x+1) = x

                               3x + 3 - 4 = x² + x

                                2x - 1       = x²

        on doit donc résoudre x² - 2x + 1 = 0

                                                  (x-1)²     = 0

                                                    x         = 1 .  

        On retrouve bien l' abscisse du point commun de la courbe Cf

        et de la droite D, qui correspond aussi à la limite de la suite (Un) .

Réponse :

Bonjour,

Pour illustrer la réponse de notre ami Croisier,

Explications étape par étape :