Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur l'exercice 45. J'ai déjà fais l'initialisation mais je sais pas comment je pourrais traduire multiple de 6 pour mon hypothèse

Réponse :

Bonjour

Soit Pₙ la propriété : 7ⁿ - 1 est un multiple de 6

Initialisation

7⁰ - 1 = 1 - 1 = 0

0 est bien un multiple de 6

Donc P₀ est vraie

Hérédité

Soit un certain n pour lequel on a 7ⁿ - 1 multiple de 6, donc on peut écrire : 7ⁿ - 1 = 6k (avec k entier relatif) (hypothèse de récurrence)

donc 7ⁿ = 6k + 1

⇔ 7×7ⁿ = 7(6k + 1)

⇔ 7ⁿ⁺¹ = 42k + 7

⇔ 7ⁿ⁺¹ = 42k + 6 + 1

⇔ 7ⁿ⁺¹ = 6(7k + 1) + 1

⇔ 7ⁿ⁺¹ - 1 = 6(7k + 1)

7ⁿ⁺¹ - 1 est donc un multiple de 6

Si Pₙ est vraie, Pₙ₊₁ est également vraie, donc Pₙ est héréditaire

Conclusion

La propriété Pₙ est vraie pour n = 0 , et elle est héréditaire.  Elle est donc vraie pour tout n entier naturel

Donc pour tout n entier nature, 7ⁿ - 1 est un multiple de 6