Bonjour, Il me faut absolument de l’aide s’il vous plait.

Réponse :

f(x) = (x + 5)/(x - 3)

1)  montrer que f est définie sur R \ {3}

pour que f  existe il faut que  x - 3 ≠ 0  ⇔ x ≠ 3

donc f est définie sur  R \ {3}

2) montrer que f(x) = 1 + [8/(x - 3)]

f(x) = (x + 5)/(x - 3)

     = (x + 5 + 3 - 3)/(x - 3)

     = (x - 3)/(x - 3) + 8/(x - 3)

     = 1 + 8/(x - 3)

3) étudier le sens de variation de f sur ]- ∞ : 3[ puis sur ]3 ; + ∞[

f(x) = 1 + [8/(x - 3)]

f est fonction somme dérivable sur  R \{3};   1 est dérivable et le quotient est dérivable sur  R \ {3}  donc la somme est dérivable sur  R \ {3}

sa dérivée f ' est :  f '(x) = 0 + ( - 8/(x - 3)² = - 8/(x - 3)²

donc f '(x) = - 8/(x - 3)²   or  (x - 3)² > 0  et - 8 < 0  donc  - 8/(x - 3)² < 0

Donc  f '(x) < 0  sur  R \ {3}  ou ]- ∞ ; 3[U]3 ; + ∞[  donc  f est décroissante sur   ]- ∞ ; 3[U]3 ; + ∞[  

4) dresser le tableau de variation de f sur   ]- ∞ ; 3[U]3 ; + ∞[  

        x   - ∞                        3                       + ∞

   f '(x)                 -              ||            -

   f(x)     1 →→→→→→→→→ - ∞ || + ∞→→→→→→→→ 1

                 décroissante             décroissante

Explications étape par étape :