Ex6 On considère la suite (un) définie sur N par : Uo = 1 Un+1 = 9/6-Un Montrer par récurrence que 0 < un < 3 pour tout n EN.

Initialisation :

[tex]0 < 1 = u_0 < 3[/tex] : la propriété est vraie au rang n = 0.

Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], c'est-à-dire que [tex]0 < u_n < 3[/tex].

[tex]0 < u_n < 3\\-3 < -u_n < 0\\6-3 < 6-u_n < 6-0\\3 < 6-u_n < 6\\\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6-u_n} < \dfrac{1}{3}\\\dfrac{9}{6} < \dfrac{9}{6-u_n} < \dfrac{9}{3}\\\dfrac{3}{2} < \dfrac{1}{6-u_n} < 3\\\dfrac{3}{2} < u_{n+1} < 3\\0 < u_{n+1} < 3[/tex]car 3/2 > 0

Conclusion : pour tout entier naturel n, [tex]0 < u_n < 3[/tex].

Réponse :

1) montrer par récurrence que  0 < un < 3   pour tout n ∈ N

  P(n) :  0 < un < 3

a) Initialisation  

vérifions pour n = 0  que P(0) est vraie

        0 < u0 = 1 < 3  donc  P(0) est vraie

b) Hérédité :  supposons que pour n ∈ N ; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire  0 < un+1 < 3

A partir de l'hypothèse de récurrence   0 < un < 3    

⇔ 0 > - un > - 3   ⇔  6 > 6 - un > - 3 + 6   ⇔  6 > 6 - un > 3

⇔ 1/6 < 1/(6 -un) < 1/3    ⇔  9/6 < 9/(6-un) < 9/3  ⇔ 3/2 < 9/(6-un) < 3

⇔ 0 < 9/(6 - un) < 3   ⇔ 0 < un+1 < 3   donc  P(n+1) est vraie

c) conclusion

P(0) est vraie au rang n = 0  et par hérédité  P(n) est vraie au rang n donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel n  

Explications étape par étape :