inéquations irrationnelle a) [tex] \sqrt{3x + 1} \leqslant 4 - x \\ [/tex] ​

Bonjour,

Déjà, assurons nous de manipuler des objets mathématiques qui existent.

Comme la fonction racine carrée n'est définie que pour les réels positifs, nous devons nous limiter aux réels x tels que

[tex]3x+1\geq 0\\\\x\geq -\dfrac1{3}[/tex]

Nous pouvons aussi remarquer qu'une racine carrée étant toujours positif, si le membre de droite de l'inéquation est négatif strictement, il n'y aura pas de solution. Donc pour 4-x<0, soit x>4 il n'y pas de solution car 4-x<0 et cela ne peut pas être supérieur à un nombre positif.

Plaçons nous alors sur l'intervalle [-1/3;4]

les deux termes de cette inégalité sont positifs et la fonction carrée est croissante sur IR+ donc

[tex]\forall x \in [-\dfrac1{3};4]\\\\\sqrt{3x+1}\leq 4-x < = > 3x+1\leq (4-x)^2\\\\ < = > 16-8x+x^2-3x+1\geq 0\\\\ < = > x^2-11x+15\geq 0[/tex]

Le discriminant est 121-4*15=61 >0

Il y a deux racines et l'expression est négative entre les racines, positive sinon.

Donc nous avons comme solution

x appartenant à l'intervalle [-1/3;4]

et

[tex]x \in ]-\infty;\dfrac{11-\sqrt{61}}{2}]\cup [\dfrac{11+\sqrt{61}}{2};+\infty[[/tex]

Or

[tex]\dfrac{11+\sqrt{61}}{2} > \dfrac{10}{2}=5[/tex]

et

[tex]\sqrt{61} < \sqrt{64}=8\\\\\dfrac{11-\sqrt{61}}{2} > \dfrac{11-8}{2}=\dfrac{3}{2} > 0[/tex]

L'ensemble solution de cette inégalité est donc

[tex]\boxed{S=\left[-\dfrac1{3};\dfrac{11-\sqrt{61}}{2}\right]}[/tex]

Merci