Exercice 2. Fonction exponentielle Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x + 1 + xe-*. On note Crsa courbe représentative dans un repère du plan. 1) Soit
Question
Exercice 2. Fonction exponentielle
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x + 1 + xe-*.
On note Crsa courbe représentative dans un repère du plan.
1) Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = ex - x + 1.
a) On note g' la dérivée de g. Déterminer, pour tout réel x, l'expression de g'(x).
b) Etudier les variations de la fonction g sur R.
c) En déduire le signe de g(x) sur R
2) a) Démontrer que, pour tout réel x, on f'(x) = e-*g(x).
b) Etudier les variations de la fonction f sur R.
3) Déterminer l'équation réduite de la tangente à C, au point d'abscisse 0.
1 Réponse
-
1. Réponse veryjeanpaul
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1) Etude de g(x)
g(x)=e^x -x+1
g(x) est définie sur R
limites
si x tend vers -oo g(x) tend vers +oo
si x tend vers +oo, g(x) tend vers +oo
dérivée: g'(x)=e^x -1
g'(x)=0 pour x=0
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo 0 +oo
g'(x) - 0 +
g(x)+oo Décroît 2 Croît +oo
On note que g(x) est toujours >0
2)Etude de f(x)=x+1+xe^x
Df=R
limites (croissances comparées)
si x tend vers -oo , f(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo
Dérivée f'(x)= 1+e^-x-x*e^-x=1+(e^-x)(1-x)=1+(1-x)/(e^x)=(e^x-x+1)/(e^x)
donc f'(x)=g(x)/(e^x)
le terme e^x étant toujours>0
On en déduit que la dérivée f'(x) est toujours >0;donc que la fonction f(x) est croissante sur R et que f(x)=0 a une et une seule solution.
( solution non demandée)
3)Equation de le tangente: on applique la formule.
y=f'(0)(x-0)+f(0) =g(0)(x-0)+f(0)=2x+1
y=2x+1