Bonjour, excusez moi de vous déranger pourriez vous m'aider pour cet exercice de mon dm que je n'arrive pas à faire ! Merci d'avance ​

Bonjour,

1 ) Le point M se déplace entre A (x = 0) et B (x = 8)

D'où 0 ≤ x ≤8

2 ) A(x) = Aire(MNPQ) = Aire (ABCD) - Aire(AMQ) - Aire(BNM) - Aire (CPN) - Aire (DQP)

Or Aire(AMQ) = Aire(BNM) = Aire (CPN) = Aire (DQP) = AM . AQ / 2 = x (8 - x) / 2

D'où A(x) = 8² - 4 * x (8 - x) / 2

On encore A(x) = 64 - 2x (8 - x)

3 ) on a A(x) = 64 - 2x (8 - x)

⇒ A(x) = 64 - 16x + 2x²

⇒ A(x) = 32 - 16x + 2x² + 32

⇒ A(x) = 2 (16 - 8x + x²) + 32

⇒ A(x) = 2 (4² - 2 * 4 * x + x²) + 32

⇒ A(x) = 2 (4 - x)² + 32

⇒ A(x) = 2 (x - 4)² + 32

A(4) = 2 (4 - 4)² + 32 = 32

A(x) - A(4) = 2 (x - 4)² + 32 - 32 = 2 (x - 4)²

Pour tout x dans IR, on a (x - 4)² ≥ 0

D'où A(x) - A(4) ≥ 0 pour tout 0 ≤ x ≤8

La valeur minimale de A(x) - A(4), soit 0, est obtenue pour x = 4

On en déduit que l'aire minimale A(x) est obtenue pour x = 4.

Cette aire est A(4) = 32 cm²

5 ) A(x) = 34 ⇔ 2 (x - 4)² + 32 = 34

⇔ 2 (x - 4)² = 2

⇔ (x - 4)² = 1

⇔ x - 4 = 1 (car x ≥ 0)

⇔ x = 5

6a ) A(x) ≤ 40 ⇔ 2 (x - 4)² + 32 ≤ 40

⇔ 2 (x - 4)² ≤ 8

⇔ (x - 4)² ≤ 4

⇔ (x - 4)² - 4 ≤ 0

b ) (x - 4)² - 4 ≤ 0

⇔ (x - 4)² ≤ 2²

⇔ -2 ≤ x - 4 ≤ 2

⇔ -2 ≤ x - 4  ou x - 4 ≤ 2

⇔ 2 ≤ x ou x ≤ 6

⇔ 2 ≤ x ≤ 6

L'aire de MNPQ est inférieure à 40 cm² si et seulement si 2 ≤ x ≤ 6