Une entreprise fabrique des chaises en bois, au maximum 10 milliers par mois. Le coût de fabrication, en milliers d'euros, de x milliers de chaises est estimé p

Bonjour,

1) La recette de l'entreprise est : [tex]R(x)=70x[/tex]

Le bénéfice se calcule par :

[tex]B(x)=R(x)-C(x)\\B(x)=70x-(5x^{2} +10x+100)\\B(x)=70x-5x^{2} -10x-100\\B(x)=-5x^{2} +60x-100[/tex]

2) On a :

[tex]B(10)=-5\times 10^{2}+60\times 10-100\\B(10)=-5\times 100+600-100\\B(10)=-500+600-100\\B(10)=0[/tex]

• [tex]B(x)=-5x^{2} +60x-100[/tex]

[tex]\Delta = 60^{2}-4\times (-5)\times (-100)\\\Delta =1 \ 600[/tex]

Comme [tex]\Delta =1 \ 600 > 0[/tex], ce polynôme admet deux racines distinctes :

[tex]x_{1}=\dfrac{-60+\sqrt{1\ 600} }{-10} =2[/tex]

et [tex]x_{2}=10[/tex] (trouvée en calculant [tex]B(10)[/tex])

D'où [tex]B(x)=-5(x-2)(x-10)[/tex]

3)

[tex]B(x)=-5(x +\frac{60}{2\times (-5)} )^{2}-\frac{1 \ 600}{4 \times (-5)} \\\\B(x)=-5(x+\frac{60}{ -10})^{2}-\frac{1 \ 600}{-20} \\\\B(x)=-5(x-6)^{2}+80 \\[/tex]

4) a) La forme canonique nous donne le sommet de la parabole qui a pour coordonnées [tex](6;80)[/tex].

Ainsi, un bénéfice maximal est réalisé en vendant 6 milliers de chaises par mois.

b) Cela correspond à l'ensemble des valeurs de [tex]x[/tex] compris entre les deux racines, c'est-à-dire entre 2 milliers et jusqu'à 10 milliers de chaises vendues par mois.

D'où : [tex]S=]2;10[[/tex] (en milliers)

c)

[tex]B(x)=-5(x-6)^{2}+80 =78,750 \\\\-5(x-6)^{2}=-1,25\\\\\dfrac{-5(x-6)^{2}}{-5} =\dfrac{-1,25}{-5} \\\\(x-6)^{2}=0,25\\x-6=0,5 \ ou \ x-6=-0,5\\x=6,5 \ ou \ x = 5,5[/tex]

Il est donc possible d'obtenir un bénéfice de 78 750 euros en vendant 5,5 ou 6,5 milliers de chaises.

En espérant t'avoir aidé.

Réponse :

Explications étape par étape :

■ BONJOUR !

■ Coût fabric = C(x) = 5x² + 10x + 100

■ Recette = R(x) = 70x

■ Bénéf = B(x) = R(x) - C(x)

                         = -5x² + 60x - 100

                 B(10) = 0

                 B(x) = (x - 10) (10 - 5x)

                         = 5 (x - 10) (2 - x) <-- factorisée

■ B(x) = -5 (x² - 12x + 20) = -5 [ (x - 6)² - 16 ] <-- canonique .

■ Bénéf maxi pour x = 6 milliers de chaises

   car la forme canonique donnera B(6) = 80 milliers d' €uros .

■ Bénéf réellement positif pour 2 < x < 10 milliers chaises

   car la forme factorisée est positive pour 2 < x < 10 .

■ B(x) = 78,75 donne -5(x-6)² + 80 = 78,75

                                          -5(x-6)² = -1,25

                                              (x-6)² = 0,25

                                                x-6  = 0,5

                                                  x   = 6,5 milliers chaises !