slt slv aidez moi comment montrer que h est strictement decroissante sur R je suis coincée j'ai besoin de votre aide dans cette question et merci d'avance ​

Réponse :

comment montrer que h est strictement décroissante sur R

f(x) = [x/√(x²+1)] - 1   définie sur R  .  h(x) = f(x) - x

1) a) montrer que h est strictement décroissante sur R

h est une fonction somme de deux fonctions dérivables sur R et sa dérivée h'  est  h '(x) = f '(x) - 1

f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = x   ⇒ u '(x) = 1

v(x) = √(x²+1)  ⇒ v'(x) = 2 x/2√(x²+1) = x/√(x²+1)

f '(x) = [√(x²+1)  - [x/√(x²+1)] * x]/(√(x²+1))²

       = [√(x²+1)  - [x²/√(x²+1)]/(√(x²+1))²

       = (x² + 1 - x²)/√(x²+1)]/(x²+ 1)     car  x²+ 1 > 0

       = 1/(√x² + 1)(x² + 1)

donc  h'(x) =  [1/(√(x² + 1)*(x² + 1)] - 1

                  = (1 - (√(x² + 1)*(x² + 1)]/(√(x² + 1)*(x² + 1)]

or (√(x² + 1)*(x² + 1)]  > 0  ⇔  - (√(x² + 1)*(x² + 1)] < 0

⇔ 1 - (√(x² + 1)*(x² + 1)] < 1    donc  1 - (√(x² + 1)*(x² + 1)] < 0

donc h '(x) < 0  ⇒  h est strictement décroissante sur R

Explications étape par étape :