Soit (u) la suite définie par u. = 5 et pour tout n EN, Un+1 = 3un + 6. Montrer que pour tout n E N, u > 0.

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour,
Pour ce genre de demonstaration on fait un raisonnement par récurrence

Soit Pn la proprieté  : pour tout n E N, Un > 0

Initialisation: pour n =0 ; U0 = 5 donc U0>0
La propriété est vraie au rang 0

Hérédité
Admettons Pn vraie; montrons qu'alors Pn+1 vraie

Pn vraie soit Un >0
on multiplie par 3 >0 on a donc 3Un > 0
on ajoute 6                                  3Un + 6> 6 donc 3Un +6 >0
                                                  soit Un+1 > 0
Donc  si Pn vrair alors Pn+1 vraie
L'hérédité est vérifiée

La propriété est héréditaire et vraie pour n =0, elle est donc vraie pour tout entier naturel n

Conclusion pour tout n E N, Un > 0.