Bonjour j’ai besoin d’aide pour ce problème niveau terminale ( Vous trouverez la figure en pj) Minimiser une aire: On considère le point A de coordonnées (1;1).
Question
Minimiser une aire:
On considère le point A de coordonnées (1;1). M et N sont les
points d’intersection d’une droite passant par A avec les des deux axes du repère. Le but du problème est de déterminer la position de M et de N pour que l’aire du triangle OMN soit minimale. On note x l’abscisse de M et y l’ordonnée de N.
1. Exprimer y en fonction de x .
2. On appelle f la fonction exprimant l’aire du triangle OMN en fonction de x. Déterminer l’expression algébrique f (x). Préciser l’intervalle d’étude de la fonction f .
3. Procéder à l’étude de la fonction sur cet intervalle puis conclure.
1 Réponse
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1. Réponse veryjeanpaul
Réponse :
Bonjour, je te propose une solution
Explications étape par étape :
1) Soient les points B et C les projetés de A sur les axes
B(1;0 ) et C(0; 1)les coordonnées de M (x; 0 ) avec x>1
les triangles NCA et ABM sont semblables donc NC/AB=CA/BM
soient NC/1=1/(x-1) donc NC=1/(x-1) donc ON=1+1/(x-1)=x/(x-1)
2) l'aire du triangle OMN=OM*ON/2 avec OM=x et ON=x/(x-1)
on remplace f(x)=x²/[2(x-1)]
intervalle d'étude de f(x) ]1; +oo[ car x doit être>1.
3)Etude de f(x)
Limites:
si x tend vers1+ , f(x) tend vers 1/0+=+oo
si x tend vers +oo , f(x) tend vers +oo
Dérivée:
f'(x)=[2x*(2x-2)-2*x²]/4(x-1)²=(2x²-4x)/4(x-1)²=(x²-2x)/2(x-1)²
f'(x)=0 si x²-2x=0 soit x(x-2)=0
solution x=2 la solution x=0 est exclue car x doit être >1
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 1 2 +oo
f'(x) - 0 +
f(x) +oo décroît f(2) croît +oo
L'aire est minimale pour x=2 donc pour OM=2 et ON=2
OMN est un triangle isocèle d'aire 2u.a.