Bonjour ,pouvez-vous m’aider s’il vous plaît Je dois étudier les variations de la suite ( Vn ) définie pour tout n appartenant à GRAND N par Vn = 2n sur 3 n-1 M

Réponse :

bonjour Vn=2n/(3n-1)

Explications étape par étape :

1) calculons V(n+1)=2(n+1)/[3(n+1)-1]=(2n+2)/(3n+2)

 V(n+1)-Vn=(2n+2)/(3n+2)-2n/(3n-1)

on  met au même dénominateur

[(2n+2)(3n-1)-2n(3n+2)]/(3n+2)(3n-1)=(6n²-2n+6n-2-6n²-6n)/(3n+2)(3n-1)

=(-2n-2)/(3n+2)(3n-1)=-2(n+1)/(3n+2)(3n-1)

n appartenant à N V(n+1)-Vn est <0 la suite Vn est donc décroissante.

2)  autre méthode: la suite Vn est une suite explicite  (fonction de n) elle se comporte donc comme la fonction f(x)=2x/(3x-1) sur  [0; +oo[

dérivée f'(x)= [2(3x-1)-3(2x)]/(3x-1)²=-2/(3x-1)²

sur [0;+oo[ , f'(x) est <0,  f(x) est décroissante;  Vx est donc décroissante