Bonjour, J’aurai besoin d’aide sur cette question, merci

Réponse :

v1 = 1

vn+1 = 3/5)vn  + 2

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul;  

   vn ≤ 5

*initialisation :  vérifions que pour n = 1   P(1) est vraie

                v1 = 2 ≤ 5   donc  P(1) est vraie

* hérédité :  supposons que pour l'entier n   P(n) est vraie et montrons

que P(n+1) est vraie

vn ≤ 5   ⇔ 3vn ≤ 15  ⇔ 3/5)vn ≤ 15/5  ⇔ 3/5)vn ≤ 3  ⇔ 3/5)vn + 2 ≤3+2

⇔  3/5)vn + 2 ≤ 5  ⇔  vn+1 ≤ 5   donc  P(n) est vraie

* conclusion   pour n = 1 on a ; P(1) est vraie  et P(n) est héréditaire au rang n  donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel non nul

Explications étape par étape :