Mathématiques

Question

Soit n appartient à N. On considère la proposition P:
<< 10^n +1 est divisible par 9. >>

1. Montrer que s'il existe un entier k tel que Pk est vraie,
alors Pk+1 est vraie.

2. Peut-on en conclure que Pn est vraie pour tout entier
naturel n ? Justifier.

3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
10^n-1 est un multiple de 9.

4. À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer
que Pn est fausse pour tout entier naturel n.
Soit n appartient à N. On considère la proposition P: << 10^n +1 est divisible par 9. >> 1. Montrer que s'il existe un entier k tel que Pk est vraie, alors Pk+1

0 Commentaire.

1 Réponse

  • Explications étape par étape:

    1)10^n+1=9k

    10^(n+1)+10=90k

    10^(n+1)+1=90k-9

    10^(n+1)+1=9(10k-1)==>CQFD

    2) Le raisonnement utilisé est la recurrence qui justifie p(n) vraie si p(n+1) vrai

    3) On part de n=0 donc:

    p(0)=10^0-1=0 donc p(0) est vraie

    On suppose que p(n) est vraie donc:

    p(n)=10^n-1=9k avec n et k entiers naturels

    On vérifie p(n+1) vraie

    10^n-1=9k par hypothèse

    10(10^n-1)-1=9k

    10^(n+1)-10=9k

    10^(n+1)-1-9=9k

    10^(n+1)-1=9k+9

    10^(n+1)-1=9(k+1)==>CQFD

    4) Il manque ce qu'il faut infirmer

Autres questions