Démontrer par récurrence que 1² +2²+ 3² +...+ n² =n(n+1)(2n+1) 6

Bonjour,

Nous allons montrer par récurrence que la proposition suivante est vraie

[tex]\forall n \in \mathbb{N}^*, \displaystyle \sum_{p=1}^n p^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Initialisation

c'est vrai pour n = 1, car

[tex]1^2=1=\dfrac{1*2*3}{6}=1[/tex]

Hérédité

Soit k un entier non nul

Supposons que

[tex]\displaystyle \sum_{p=1}^k p^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}[/tex]

Et montrons que cela reste vraie au rang k+1

[tex]\displaystyle \sum_{p=1}^{k+1} p^2=\sum_{p=1}^{k} p^2+(k+1)^2\\\\=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2[/tex]

en utilisant l'hypothèse de récurrence et ensuite cela donne

[tex]\displaystyle \sum_{p=1}^{k+1} p^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\\\=(k+1)*\dfrac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}\\\\=(k+1)*\dfrac{2k^2+7k+6}{6}\\\\=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]

car [tex](k+2)(2k+3)=2k^2+7k+6[/tex]

D'où le résultat

Conclusion

Nous venons de démontrer par récurrence que pour tout n entier non nul

[tex]\displaystyle \sum_{p=1}^n p^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Merci