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Question

Bonjour j'aimerai de l'aide juste pour la question a je suis bloqué je ne trouve pas
(un) est la suite définie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1=4+5un. Manon a réalisé la feuille de calcul ci-contre (image)
a) Émettre une conjecture sur l'expression de un en fonction de n. b) Démontrer cette conjecture par récurrence.
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Bonjour j'aimerai de l'aide juste pour la question a je suis bloqué je ne trouve pas (un) est la suite définie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1=4+5u

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  • Réponse :

    Bonjour j'aimerai de l'aide juste pour la question a je suis bloqué je ne trouve pas

    (un) est la suite définie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1=4+5un. Manon a réalisé la feuille de calcul ci-contre (image)

    a) Émettre une conjecture sur l'expression de un en fonction de n.

               pour tout entier naturel n  on a ;  un = 5ⁿ - 1

    b) Démontrer cette conjecture par récurrence.

    initialisation : vérifions que pour n = 0  P(0) est vraie

              u0 = 0 = 5⁰ - 1 = 0  donc  P(0) est vraie

    hérédité : supposons que pour un entier n ; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire il faut montrer un+1 = 5ⁿ⁺¹ - 1

    un+1 = 4 + 5un   ⇔ un+1 = 4 + 5*(5ⁿ - 1) = 4 + 5ⁿ⁺¹ - 5 =  5ⁿ⁺¹ - 1

    donc  P(n+1) est vraie

    conclusion :  pour n = 0 ; P(0) est vraie  et  P(n) est héréditaire au rang n

    donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n

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    Explications étape par étape :

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