Bonsoir je suis en terminale avec spé maths et je n’arrive pas à faire cet exercice. J’aurais besoin d’aide s’il vous plaît. Cordialement, Marion.

Réponse :

Bonjour,

Méthode on calcule U(n+1)-U(n)

Explications étape par étape :

[tex]\displaystyle u_{n+1}-u_n=\sum_{k=1}^{n+1}\ \dfrac{1}{k+n} -\sum_{k=1}^{n}\ \dfrac{1}{k+n} =\dfrac{1}{2n+1} > 0[/tex]

La suite est donc croissante.

[tex]\displaystyle v_{n+1}-v_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\ \dfrac{1}{k} - \sum_{k=n}^{2n}\ \dfrac{1}{k} \\\\=\sum_{k=n+1}^{2n}\ \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{2n+1} +\dfrac{1}{2n+2} -(\sum_{k=n+1}^{2n}\ \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{n}) \\\\=\dfrac{1}{2n+1} +\dfrac{1}{2n+2} -\dfrac{1}{n} \\\\\\=\dfrac{n(2n+2)+n(2n+1)-(2n+1)(2n+2)}{n*(2n+1)(2n+2)} \\\\=-\dfrac{3n+2}{n*(2n+1)(2n+2)} < 0\\[/tex]

La suite est donc décroissante.