Bonsoir tout le monde Pourriez vous m'aider pour cet exercice de maths sur les suites par récurrence exo ci joint merci beaucoup ​

Réponse :

Démontrer par récurrence  que pour tout n ≥ 1

1 + 2 + 3 + ...... + n = n(n+1)/2

P : 1 + 2 + 3 + ...... + n = n(n+1)/2

initialisation : vérifions que pour n = 1 ; P(1) est vraie

        1 + 2 + 3 + ...... + 1 = 1 = 1(1+1)/2 = 1   donc P(1) est vraie

hérédité : supposons que pour un entier n;  P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

 1 + 2 + 3 + ...... + n + (n + 1) = n(n+1)/2 + (n + 1)

                                             = n(n + 1)/2 + 2(n + 1)/2

                                            = [n(n+1) + 2(n+1)]/2

                                            = (n+1)(n+2)/2

donc    1 + 2 + 3 + ...... + n + (n + 1) =  (n+1)(n+2)/2

donc  P(n) est vraie

conclusion  :   pour n = 1 ; P(1) est vraie  et  P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel  n ≥ 1

Explications étape par étape :