bonjour exo40 svp merci d'avance.​

Réponse :

v1 = - 1

pour tout entier naturel non nul,  vn+1 = - 3vn + 8

Montrer que pour tout entier naturel non nul,  vn = (- 3)ⁿ + 2

raisonnement par récurrence

P :  vn = (- 3)ⁿ + 2

* initialisation :  vérifions que pour n = 1 ; P(1) est vraie

               v1 = - 1 = (- 3)¹ + 2 = - 1  donc   P(1) est vraie

* hérédité :  supposons que pour un entier n ; P(n) est vraie  et montrons que P(n+1) est vraie  

  vn = (- 3)ⁿ + 2    ⇔  - 3vn = - 3((-3)ⁿ + 2)   ⇔ - 3vn + 8 =  - 3((-3)ⁿ + 2) + 8

⇔ (- 3)(-3)ⁿ - 6 + 8  ⇔ (- 3)ⁿ⁺¹ + 2   donc  P(n+1) est vraie

* conclusion   pour n = 1 ; P(1) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel non nul

Explications étape par étape :