croissante sur l'intervalle [0; +[. CALC Soit (u) la suite définie par u = 1,8 et pour 2 92 tout entier naturel n, un+1 3-un 1. Démontrer par récurrence que cet

Réponse :

CALC Soit (u) la suite définie par u = 1,8 et pour

2

92

tout entier naturel n, un+1

3-un

1. Démontrer par récurrence que cette suite est bornée par

1 et 2.    ⇔  1 ≤ un ≤ 2

P : 1 ≤ un ≤ 2

* initialisation : vérifions que pour n = 0 ;  P(0) est vraie

             1 ≤ u0 = 1.8 ≤ 2   donc  P(0) est vraie

* hérédité :  supposons que pour un entier n;  P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

 1  ≤ un ≤ 2   ⇔ - 1 ≥ - un ≥ - 2   ⇔ - 2 ≤ - un ≤ - 1  

⇔ - 2 + 3 ≤ -un + 3 ≤ - 1+3   ⇔ 1 ≤ 3 - un ≤ 2    ⇔ 1 ≤ un+1 ≤ 2

donc  P(n+1) est vraie

* conclusion :   pour n = 0;  P(0) est vraie et  P(n) est héréditaire au rang n,  donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel n  

2. Démontrer par récurrence que la suite (un) est décroissante.

        un+1 ≤ un

P :  un+1 ≤ un

* initialisation :   vérifions que pour n = 0;  P(0)

        3 - u0 ≤ u0   ⇔ 3 - 1.8 ≤ 1.8  ⇔ 1.2 ≤ 1.8   donc  P(0) est vraie

* hérédité : supposons que pour un entier n;  P(n) est vraie  et montrons

que P(n+1) est vraie   c'est à dire il faut montrer que un+2 ≤ un+1

un+1 ≤ un   ⇔ 3 - un ≤ un  ⇔ - 3 + (3 - un) ≤  un - 3  

⇔  - [3 - (3 - un)] ≤  - 3 + un

⇔ - [3 - (3 - un)] ≤  - (3 - un)   ⇔  [3 - (3 - un)] ≤   (3 - un)    

⇔ 3 - un+1 ≤ un+1    ⇔ un+2 ≤ un+1   donc  P(n) est vraie

conclusion :  pour n = 0 ; P(0) est vraie et  P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel n

3. Conclure quant à la convergence de la suite (un).

puisque (un) est décroissante et bornée  donc  la suite (un) est convergente   sa limite en + ∞ un = l ≤ 2

4. Conjecturer avec une calculatrice la limite de la suite (u).

Explications étape par étape :