Récurrence : Bonjour, j’espère que vous allez bien. Voilà j’aurais besoin d’un peu d’aide pour cet exercice je suis bloqué pour l’hérédité, merci d’avance :)

Réponse :

u0 = 2

un+1 = 2un + 2n² - n

P : un = 7 x 2ⁿ  - 2 n² - 3 n - 5

hérédité : supposons que pour un entier n ; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie ; il faut montrer que

un+1 = 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2(n+1)² - 3(n + 1) - 5

un+1 = 2(7 x 2ⁿ - 2 n² - 3 n - 5) + 2 n² - n

        = 7 x 2x 2ⁿ - 4 n² - 6 n - 10 + 2 n² - n

        = 7 x 2ⁿ⁺¹ - 4 n² - 4 n - 2n - 2 - 8 + 2 n² - n

        =  7 x 2ⁿ⁺¹ - 2 n² - 4 n - 2n - 2 - 8  - n

        = 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2 (n² + 2 n + 1) - 2n  - 8  - n

        = 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2 (n² + 2 n + 1) - 3n  - 3 - 5

        = 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2(n + 1)² - 3(n + 1) - 5

donc P(n+1) est vraie

Explications étape par étape :