Bonjour, est ce que quelqu’un pourrait m’aider pour cette partie en mathématiques, merci beaucoup d’avance

Bonjour,

1.

[tex]u_0=6\\\\u_1=\dfrac1{2}u_0+1=\dfrac1{2}*6+1=3+1=4\\\\u_2=\dfrac1{2}u_1+1=\dfrac1{2}*4+1=2+1=3[/tex]

2.

[tex]v_0=u_0-2=4\\\\v_1=u_1-2=2\\\\v_2=u_2-2=3-2=1[/tex]

3. Cela donne l'impression que la suite [tex](v_n)[/tex] est une suite géométrique de raison 1/2

4.

Soit n entier naturel

[tex]u_n=v_n+2\\\\v_{n+1}=u{n+1}-2=\dfrac1{2}u_n+1-2\\\\=\dfrac1{2}u_n-1 =\dfrac{1}{2}v_n+1-1=\dfrac1{2}v_n\\\\\boxed{\boxed{v_{n+1}=\dfrac1{2}*v_n}}[/tex]

Notre conjecture est donc correcte, la suite [tex](v_n)[/tex] est une suite géométrique de premier terme 4 et de raison 1/2.

5.

soit n entier naturel

[tex]v_n=v_0*(\dfrac{1}{2})^n=4*(\dfrac{1}{2})^n[/tex]

d'où

[tex]u_n=2+4*(\dfrac1{2})^n[/tex]

6.

soit n entier

[tex](\dfrac1{2})^{n+1}-(\dfrac1{2})^n=(\dfrac1{2})^n * (\dfrac1{2}-1)=(\dfrac1{2})^n*(-\dfrac1{2})\\\\=-(\dfrac1{2})^n[/tex]

7.

Soit n entier

[tex]u_{n+1}-u_n=4*(\dfrac1{2^{n+1}}-\dfrac1{2^n})=-4*(\dfrac1{2})^{n+1} < 0[/tex]

La suite [tex](u_n)[/tex] est donc décroissante.

or tous les termes de la suite sont positifs, donc la suite est convergente.

Sa limite est 2.

Merci