au secours je galère ,pouvez vous m'aider ​

Bonjour,

on note x = AM et O = (CH) ∩ (NP)

On a donc 0 ≤ x ≤ 8

Aire(MNPQ) = (MH + HQ) × MN = (AH - AM + HQ) × MN

Or AM/AH = AN/AC = MN/CH {d'après le th. de Thalès appliqué au triangles AMN et AHC puisque (MN) // (HC)}

Soit MN = AM × CH / AH d'après le th. de Pythagore appliqué au triangle AHC rectangle en H.

On en déduit que MN = x × 6 / 8 d'où MN = 3x/4

D'autre part et d'après le th. de Tahlès appliqué aux triangles COP et CHQ {puisque (OP) // (HB)}, on a CO/CH = CP/CB = OP/HP = HQ/HB (car OP = HQ)

On en déduit que HQ / (AB - AH) = CP/CB

Or CP/CB = CN/CA {Th. de Thalès appliqué aux triangles NCP et ACB puisque (NP) // (AB)} et CN/CA = HM/AH.

Donc CP/CB = HM/AH = (AH - x) / AH

Soit HQ / (AB - AH) = (AH - x) / AH

On en déduit que HQ = (AB - AH) (AH - x) / AH = (12 - 8) (8 - x) / 8 = 4 - x/2

On en conclut que

Aire(MNPQ) = (AH - AM + HQ) × MN

Aire(MNPQ) = (8 - x + 4 - x/2) × 3x/4

Aire(MNPQ) = (12 - 3x/2) × 3x/4

Aire(MNPQ) =  9x - 9x²/8

Aire(MNPQ) = - 9/8 (x² - 8x) { on doit trouver la forme canonique du polynôme}

Aire(MNPQ) = - 9/8 (x² - 8x + 16 - 16)

Aire(MNPQ) = - 9/8 ((x - 4)²- 16))

Aire(MNPQ) = - 9/8 (x - 4)² + 9/8 ×16

Aire(MNPQ) = - 9/8 (x - 4)² + 18

L'aire est maximale pour x= 4 , soit AM = 4, et elle est égale à 18 u.a.

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

AM=x

CH=6

AH=8

MN=y

Appliquons Thalès dans le triangle ACH:

[tex]\dfrac{AM}{AH} =\dfrac{MN}{HC} \\\\\dfrac{x}{8} =\dfrac{y}{6} \ \Longrightarrow\ \boxed{y=\dfrac{3x}{4}}\\\\[/tex]

Appliquons Thalès dans le triangle BCH:

[tex]\dfrac{BQ}{BH} =\dfrac{QP}{HC} \\\\\dfrac{z}{4} =\dfrac{\dfrac{3x}{4}}{6} \\\\z=\dfrac{x}{2}\\MQ=8-x+(4-\dfrac{x}{2})=\dfrac{3}{2}(8-x)\\\\Aire\ MNPQ=\dfrac{3}{2}(8-x)*\dfrac{3x}{4}\\\\\boxed{Aire\ MNPQ=9x-\dfrac{9x^2}{8}\\}[/tex]

[tex]Aire\ MNPQ=9x-\dfrac{9x^2}{8}\\=-\dfrac{9}{8}(x^2-8x)\\=-\dfrac{9}{8}(x^2-2*4x+16-16)\\\\Aire\ MNPQ=-\dfrac{9}{8}(x-4)^2+18\\[/tex]

Cette aire est maximum si x=4 et vaut 18