bonjour j’ai besoin d’aide pour cette exercice svp

Réponse :

un+1 = (3un + 1)/(2un + 4)   et u0 = 1

1) montrer que pour tout entier naturel n;  un ≥ 0

raisonnement par récurrence

P(n) :  un ≥ 0

*initialisation :  vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie

              u0 = 1 ≥ 0   donc  P(0) est vraie

* hérédité : supposons que pour un entier n ; P(n) est v≥raie et montrons que P(n+1) est vraie

on a un ≥ 0  donc  3un + 1 ≥ 0  et  2un + 4 > 0  donc (3un + 1)/(2un + 4)≥0

donc un+1 ≥ 0  donc P(n+1) est vraie

* conclusion :  P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel n

2) tn = (2un - 1)/(un + 1)

a) montrer que la suite (tn) est géométrique de raison 2/5

     tn+1 = (2un+1  - 1)/(un+1  + 1)

             = (2(3un + 1)/(2un + 4) - 1)/((3un + 1)/(2un + 4)  + 1)

             = (2(3un + 1)/(2un + 4) - (2un + 4))/((3un + 1)/((2un + 4)  + (2un + 4))

             = (6un + 2 - 2un - 4)/(2un + 4)/(3un + 1 + 2un + 4)/(2un + 4)

             = (4 un - 2)/(2un + 4)/(5un + 5)/(2un + 4)

             = (4un - 2)/(5un + 5)

             = 2(2un - 1)/5(un + 1)

      tn+1 = 2/5) tn    cqfd

b) expliciter tn en fonction de n pour tout entier naturel n

t0 = (2u0 - 1)/(u0 + 1) = (2 - 1)/(1+1) = 1/2

      tn = t0 x qⁿ  = 1/2) x (2/5)ⁿ = 1/2) x 2ⁿ/5ⁿ = 2ⁿ⁻¹/5ⁿ

3) en déduire l'expression explicite de un en fonction de n

         tn = (2un - 1)/(un + 1)

         tn(un + 1) = 2un - 1

         tnun + tn = 2un - 1

         2un - tnun = tn + 1

          un(2 - tn) = tn + 1

          un = (tn + 1)/(2 - tn) =  (2ⁿ⁻¹/5ⁿ + 1)/(2 - 2ⁿ⁻¹/5ⁿ

                = (2ⁿ⁻¹ + 5ⁿ)/5ⁿ)/(2x5ⁿ - 2ⁿ⁻¹)/5ⁿ

      un = (2ⁿ⁻¹ + 5ⁿ)/(2x5ⁿ - 2ⁿ⁻¹)

4) en déduire la convergence de la suite (un) et donner sa limite

  un+1 ≥ 0  et un ≥ 0  donc un+1 ≥ un  donc (un) est croissante sur N

un est minorée par 0   donc (un) est convergente

lim n → + ∞ (un)  

Explications étape par étape :