discuter suivant les valeurs du paramètre m l'existence et e signe des racines soit fm(×)=(2m-1)x²+(3m+4)x+m-4 Peut on trouver m pour que l'équation fm(x)=0 ait

Bonjour,

L'équation est

[tex](2m-1)x^2+(3m+4)x+m-4=0[/tex]

Le discriminant s'écrit

[tex]\Delta =(3m+4)^2-4(2m-1)(m-4)\\\\=9m^2+24m+16-4(2m^2-9m+4)\\\\=9m^2+24m+16-8m^2+36m-16\\\\=m^2+60m=m(m+60)[/tex]

L'ensemble des solutions de cette équation est non vide pour [tex]\Delta \geq 0[/tex]

donc une étude de signe sommaire nous permet d'en déduire que  

[tex]m \in ]-\infty;-60]\cup[0;+\infty[[/tex]

D'autre part, nous pouvons prendre m tel que 2m-1 soit différent de 0, sinon cela devient une équation du premier degré qui n'a qu'une solution.

A partir de maintenant nous allons donc considérer

[tex]m \in ]-\infty;-60]\cup[0;+\infty[[/tex] et m différent de 1/2

Le produit des racines est

[tex]\dfrac{m-4}{2m-1}[/tex]

La somme des racines est

[tex]-\dfrac{3m+4}{2m-1}[/tex]

a) Deux racines opposées impliquent que leur somme est 0.

donc 3m+4=0 qui donne

[tex]m=-\dfrac{4}{3}[/tex]

Pour cette valeur de m, le discriminant est strictement négatif, il n'y a pas de racine, donc ce n'est pas possible.

b) Deux racines inverses impliquent que leur produit est 1.

donc

[tex]\dfrac{m-4}{2m-1}=1\\\\m-4=2m-1\\\\m=-3[/tex]

Cette valeur de m n'est pas envisageable pour la même raison qu'à la question précédente.

c) Dire que les racines vérifient cette inégalité signifie que -1 et -3 ne sont pas solutions de l'équation et le polynôme ne s'annule qu'une fois entre -3 et -1, ce qui peut s'écrire P(-3)P(-1)<0

or

[tex]P(-1)=2m-1+-3m-4+m-4=-9 < 0[/tex]

Donc cela revient à chercher m tel que

[tex]P(-3)=9(2m-1)-3(3m+4)+m-4 > 0\\\\18m-9-9m-12+m-4=10m-25 > 0\\\\m > \dfrac{25}{10}[/tex]

Pour m  strictement supérieur à 2,5 il y a deux racines distinctes qui verifient l'inégalité demandée.

Merci