Exercice 2 on considère l'équation (E) définie par 8x³ -4 racine carré de 3x² -2x + racine carré de 3 1 ) vérifier que 1/2 est solution de (E) 2) trouver toutes

Bonjour,

L'équation (E) est

[tex]8x^3-4\sqrt{3}x^2-2x+\sqrt{3}=0[/tex]

1)

Comme

[tex]8(1/2)^3-4\sqrt{3}(1/2)^2-2*1/2+\sqrt{3}=1-\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=0[/tex]

1/2 est solution

2)

Nous pouvons donc factoriser par (x-1/2)

Soit x réel

[tex]8x^3-4\sqrt{3}x^2-2x+\sqrt{3}=(x-\dfrac1{2})(8x^2+4(1-\sqrt{3})x-2\sqrt{3})=0[/tex]

[tex]\Delta=16(1-\sqrt{3})^2-4*8*(-2\sqrt{3})=16-32\sqrt{3}+16*3+64\sqrt{3}=64+32\sqrt{3} > 0[/tex]

Nous pouvons remarquer que le produit des racines est

[tex]-\dfrac{2\sqrt{3}}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})*(-\dfrac1{2})[/tex]

et la somme des racines

[tex]\dfrac{4(\sqrt{3}-1)}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}[/tex]

Les racines sont donc

[tex]S=\left \{-\dfrac1{2}; \dfrac1{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right \}[/tex]

Merci

Remarque, on vient de montrer indirectement que

[tex]\dfrac{4(\sqrt{3}-1)-\sqrt{64+32\sqrt{3}}}{16}=-\dfrac1{2}[/tex]